測(cè)量不確定度理解與應(yīng)用(二)
極差法和貝塞爾法之間的比較

　　 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定定義為:“用對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度”。國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范JJF1059-1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》中介紹了兩種A類評(píng)定的方法，貝塞爾法和極差法。
    1.貝塞爾法
    當(dāng)在重復(fù)性或復(fù)現(xiàn)性條件下，對(duì)被測(cè)量X進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)。若得到的測(cè)量結(jié)果分別為x₁，x₂，……，x_n，n次測(cè)量的平均值為。于是用貝塞爾公式可以求出單次測(cè)量結(jié)果x_i的實(shí)驗(yàn)方差s²(x_i)和實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s(x_i)。
    
    2.極差法
    當(dāng)在重復(fù)性或復(fù)現(xiàn)性條件下，對(duì)被測(cè)量X進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)。若n個(gè)測(cè)量結(jié)果中最大值和最小值之差為R(稱為極差)，在可以估計(jì)X接近正態(tài)分布的條件下，單次測(cè)量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s(x_iv)可近似地表示為:
    s(x_i)=R/C=u(x_i)
    式中系數(shù)C為極差系數(shù)。極差系數(shù)之值與測(cè)量次數(shù)n的大小有關(guān)。表1給出極差法的極差系數(shù)和自由度與測(cè)量次數(shù)的關(guān)系。
    

    既然隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)偏差可以用兩種方法得到，就不可避免地會(huì)提出兩種方法孰優(yōu)孰劣的問(wèn)題。無(wú)疑，極差法具有計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。但在計(jì)算機(jī)應(yīng)用已經(jīng)十分普及的今天，用貝塞爾公式計(jì)算也已變得相當(dāng)容易。因此關(guān)鍵問(wèn)題還在于用何種方法估算得到的不確定度更為準(zhǔn)確。
    表面上看來(lái)，用貝塞爾公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)使用了全部n個(gè)測(cè)量結(jié)果，而極差法只用了一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，其余數(shù)據(jù)均棄之不用，因此用貝塞爾法得到的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該比極差法更為可靠。比較兩種方法的自由度也可以看出，極差法的自由度比貝塞爾法小(貝塞爾法的自由度為n-1，而極差法的自由度<n-1)。于是可以得到同樣的結(jié)論，貝塞爾法比極差法更為可靠。
    但實(shí)際上問(wèn)題并沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。根據(jù)定義，用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。因此從理論上說(shuō)，應(yīng)該計(jì)算的是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，而不是實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s。但標(biāo)準(zhǔn)偏差是一個(gè)總體參數(shù)，也就是說(shuō)，要進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量才能得到。在實(shí)際工作中只能用樣本參數(shù)來(lái)代替總體參數(shù)，即用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的估計(jì)量。理論上可以證明，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s并不是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無(wú)偏估計(jì)量。這就是說(shuō)，當(dāng)用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)偏差σ時(shí)，除了實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s本身是一個(gè)隨機(jī)變量外，它的數(shù)學(xué)期望值(即無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值)相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)偏差σ還有一個(gè)與測(cè)量次數(shù)有關(guān)的系統(tǒng)性偏差。測(cè)量次數(shù)越少，其系統(tǒng)性偏差就越大。因此可以對(duì)貝塞爾公式作一無(wú)偏差的修正。經(jīng)過(guò)無(wú)偏差修正后的貝塞爾公式為:
    
    上式中修正因子M_n的數(shù)值見(jiàn)表2。由表2可知，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n≤6時(shí)，隨著測(cè)量次數(shù)減少，偏離系數(shù)M_n將明顯加速偏離1。
    

    也可以分別計(jì)算出用貝塞爾公式和極差法得到的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可以看出，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n=10時(shí)，兩種方法得到的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)確程度幾乎相同。當(dāng)n>10時(shí)，貝塞爾法優(yōu)于極差法；當(dāng)n<10時(shí)，極差法優(yōu)于貝塞爾法。至于修正的貝塞爾公式，相比而言雖然最為準(zhǔn)確，但因比較麻煩實(shí)際上很少使用。這就是為什么國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范JJF1059-1999中在給出極差系數(shù)及自由度表后指出“一般在測(cè)量次數(shù)較小時(shí)采用該法”，以及國(guó)家計(jì)量技術(shù)法規(guī)統(tǒng)一宣貫教材《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示指南》中同時(shí)還指出“測(cè)量次數(shù)以4～9次為宜”。
    

    上面的分析，僅是針對(duì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差而言的。在大部分的測(cè)量不確定度評(píng)定中，測(cè)量不確定度A類評(píng)定僅是其中的一個(gè)或幾個(gè)分量。他們還將與其他B類評(píng)定的分量合成，才能得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。合成的方法是方差相加。雖然實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s并不是標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)量，但卻可以證明實(shí)驗(yàn)方差s²是總體方差σ²的無(wú)偏估計(jì)量。因此，若A類評(píng)定需要和其他B類分量合成，且A類評(píng)定分量不占優(yōu)勢(shì)時(shí)，則無(wú)論測(cè)量次數(shù)的多少，貝塞爾法將優(yōu)于極差法。
    因此筆者認(rèn)為結(jié)論應(yīng)該是:
    (1)當(dāng)A類評(píng)定不確定度分量不是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中惟一占優(yōu)勢(shì)的分量時(shí)，則無(wú)論測(cè)量次數(shù)多少，貝塞爾法優(yōu)于極差法。
    (2)當(dāng)A類評(píng)定不確定度分量是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度中惟一占優(yōu)勢(shì)的分量時(shí)，則兩種方法的優(yōu)劣與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n<10時(shí)，極差法優(yōu)于貝塞爾法；當(dāng)測(cè)量次數(shù)n≥10時(shí)，貝塞爾法優(yōu)于極差法。