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[連載]第三講 有關(guān)不確定度的概念與術(shù)語

發(fā)布時(shí)間:2007-04-19 作者:李慎安 來源:jlbjb.com 瀏覽:9421

計(jì)量培訓(xùn):測量不確定度表述講座
國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局 李慎安

  3.1  實(shí)驗(yàn)方差s2(qk)是方差σ2的無偏估計(jì)的含義為何?標(biāo)準(zhǔn)偏差s是否也是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的無偏估計(jì)?
  在用貝塞爾公式
  計(jì)算任一次測量結(jié)果qk的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(qk)時(shí),未開方前以及用本講座2.12問題中給出的式子計(jì)算時(shí),未開方前,均稱為實(shí)驗(yàn)方差s2(qk)。σ稱為總體標(biāo)準(zhǔn)偏差,σ2則稱為總體方差或簡稱方差,在計(jì)量學(xué)中,特別是測量不確定度評定中,總體是指被測量Y在重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下無限多次的測量結(jié)果。根據(jù)這無限多次測量結(jié)果計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)偏差就是σ。由于實(shí)驗(yàn)中,重復(fù)的次數(shù)n總是有限的,計(jì)算出的實(shí)驗(yàn)方差s2只是σ2的一個(gè)估計(jì)值。n越大,這個(gè)估計(jì)值越可靠。所謂無偏估計(jì),可以簡單地理解為:s2σ2大的概率與s2σ2小的概率相等,即均為50%。而且當(dāng)次數(shù)n越大時(shí),差值(s2-σ2)的總和越趨近為零,當(dāng)n為無窮大時(shí),s2-σ2就等于零。當(dāng)s2σ2的無偏估計(jì)時(shí),s就不是σ的無偏估計(jì)而是有偏的了,sσ的偏小估計(jì),即s-σ是負(fù)值的概率大于s-σ是正值的概率。在測量不確定度評定中,可以不去考慮這種偏小,因?yàn)殡Sn的增大它們會(huì)趨于相等。

  3.2  為什么在按貝塞爾公式計(jì)算的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí),次數(shù)n應(yīng)充分大(開方后為什么只取正值)復(fù)現(xiàn)性條件下的重復(fù)測量結(jié)果可否采用貝塞爾公式計(jì)算一次測量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差?
  次數(shù)n越大,計(jì)算出來的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(qk)越可靠。一般文獻(xiàn)均提出應(yīng)充分大,當(dāng)然是越大越好,盡可能多地重復(fù)測量。不過一般來說,次數(shù)n≥30就認(rèn)為充分了。因?yàn)?I>n等于40或50雖比n=30好一點(diǎn),但好不了多少。當(dāng)我們研究測量儀器的特性,特別是其示值分布的情況時(shí),則是另一種目的,次數(shù)n往往要超過100甚至200。
  數(shù)字中的平方根,總是帶有正負(fù)號(hào)的,例如=±10。但是,在標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算中,開方后的值只取正值,原因在于標(biāo)準(zhǔn)差表示的是分散性,而分散性所給出的是一個(gè)區(qū)間或理解為一個(gè)范圍。作為物理量的區(qū)間的大小,用負(fù)值是沒有意義的。這也就是測量不確定度只有正值而不存在負(fù)值的原因。
  復(fù)現(xiàn)性條件下的重復(fù)測量結(jié)果之間,也存在分散性,這種條件下的任一次測量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差,也無例外地可以用3.1或2.12中給出的式子進(jìn)行計(jì)算。復(fù)現(xiàn)性條件似乎不是等精度測量所要求的條件,但是,所謂等精度是個(gè)定性的概念,重復(fù)性條件下的測量結(jié)果有大有小,它們的測量誤差也各不相同,但應(yīng)該說是有限程度的等精度。復(fù)現(xiàn)性條件下出現(xiàn)了某些條件的變化,導(dǎo)致測量結(jié)果分散性某種程度的擴(kuò)大,但仍可以用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差來定量表述,也可稱之為等精度測量。參閱2.9。

  3.3  測量不確定度的定義如何理解?
  測量不確定度定義的英文為:Parameter,associated with the result of a measurement,that characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attributed to the measurand。一般譯為:與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù),用來表征合理地賦予被測量之值的分散性。上述譯文把“associated with”譯為“相聯(lián)系”不太貼切,英文的含義是“與…一起”,而“相聯(lián)系”一詞在漢語中,特別是在科技文獻(xiàn)中,往往令人要問,如何聯(lián)系,函數(shù)形式如何?其實(shí),在這里測量不確定度與測量結(jié)果之間的“聯(lián)系”,只不過是“在一起”,除此以外無其他含義。

  當(dāng)我們在重復(fù)性條件下,對一穩(wěn)定的被測量X獨(dú)立進(jìn)行了n次重復(fù)測量,在這一測量列中,通過n個(gè)結(jié)果按貝塞爾公式計(jì)算出的,第i次結(jié)果xi的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s(xi),與xi之間有怎樣的聯(lián)系?這里的xi雖指第i次測量結(jié)果,而其實(shí)際含義則為:任一次的測量結(jié)果。因此,s(xi)=u(xi)表明這個(gè)不確定度(分散性)是這個(gè)測量列中任意一次的結(jié)果的不確定度。當(dāng)然,如果在相同的重復(fù)性條件下再測一次,得到的結(jié)果xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度同樣也是s(xi)。我們能看出這里的一次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)與xi之間有怎樣的聯(lián)系呢?沒有。

  怎么叫合理?怎么是非合理?在《導(dǎo)則》中未予交代。有人說,這里“合理”一詞妙極,合理就是合理。沒有,也不必要有任何解釋。只要賦予被測量之值的分散性不能用不確定度來表征,則賦予被測量之值就不合理。如果是這樣,我們?nèi)绾卫斫獠淮_定度的概念呢?
    定義中所謂的合理,是指處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)下的測量。當(dāng)測量是處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)下時(shí),其結(jié)果的分散性才能用不確定度這一參數(shù)表征,否則不行。
  國際上對實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的定義是表征結(jié)果分散性的,還有,1994年12月公布的國際標(biāo)準(zhǔn)ISO 5725—《測量方法與測量結(jié)果的準(zhǔn)確度》其中對重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差以及復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)差(srsR),都是明確規(guī)定重復(fù)性條件下和復(fù)現(xiàn)性條件下,對同一被測量獨(dú)立測量若干次的測量列,按貝塞爾公式所得到的分散性用標(biāo)準(zhǔn)差定量地給出的值,ISO分別用了標(biāo)準(zhǔn)化的符號(hào)srsR以示區(qū)別。
  所謂統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)的含義,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中就是指隨機(jī)控制過程狀態(tài)。在計(jì)量學(xué)中,一般來說,可以具體化為:重復(fù)性條件和復(fù)現(xiàn)性條件可以保證下的狀態(tài)。
  當(dāng)我們把測量過程中所用的標(biāo)準(zhǔn)測量儀器,按證書所給的修正量或修正曲線,對其示值(某些情況下就是測量結(jié)果)進(jìn)行修正后,由于修正值的不確定度導(dǎo)致的誤差,其期望是可以,而且往往只能,作為零來估計(jì)的,這就是一種統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài),因它處于隨機(jī)過程之中。

  不確定度是否就是測量結(jié)果的可能誤差?答復(fù)是肯定的。不確定度的含義雖為賦予被測量之值的分散性,但是,分散性的形成:一是隨機(jī)效應(yīng);二是系統(tǒng)效應(yīng)。系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的誤差分量其期望(指對那些已知系統(tǒng)誤差進(jìn)行過修正后的)與隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的誤差分量一樣,都是為零。因此,只要沒有遺漏重大的不確定度分量,最后給出的擴(kuò)展不確定度,無論是U還是Up,都是一種可能誤差(possible error)的量度。事實(shí)上,在計(jì)量學(xué)中,過去給測量不確定度曾經(jīng)有過一個(gè)定義:由測量結(jié)果所給出的被測量估計(jì)值中,可能誤差的量度。這個(gè)定義雖已為1995年的《導(dǎo)則》放棄,但是,其概念與當(dāng)前所采用的定義并不矛盾,可能誤差在大多數(shù)情況下,表達(dá)為一種誤差限,或最大允許誤差等。因此,我們在按檢定證書或某些儀器的技術(shù)規(guī)范中的這一指標(biāo),來估算其所導(dǎo)致的不確定度分量時(shí),就有理由把它們作為UUp來對待。例如:證書上給出了最大允許誤差不超出±18μA,就可認(rèn)為U99=18μA。而其標(biāo)準(zhǔn)不確定度在正態(tài)分布的前提下可估算為U99/3=18μA/3=6μA。
  測量不確定度是否仍可理解為被測量真值所處范圍的量度?答案也是肯定的,JJF1001-1991中,曾對測量不確定度按當(dāng)時(shí)國際上的意見定義為:表征被測量的真值所處量值范圍的評定。這一定義也為國際計(jì)量學(xué)界所放棄,原因是這兩個(gè)定義中均涉及到“真值”、“誤差”這樣的理論上的概念而不具有“可操作性”。雖然如此,其所表達(dá)的概念并未被國際計(jì)量學(xué)界所否定。德國于1996年3月所公布的標(biāo)準(zhǔn)DIN1319—3《單一被測量測量結(jié)果不確定度的估算》中,對測量不確定度的定義卻是采用了:和測量結(jié)果一起,用于說明被測量真值所處范圍的一個(gè)參數(shù)。

  不確定度與測量結(jié)果有多大的聯(lián)系?
  例如:1個(gè)三等砝碼,交給某個(gè)實(shí)驗(yàn)室,按檢定規(guī)程的要求進(jìn)行了測量,得到其質(zhì)量為m1。然后,把這個(gè)砝碼交給另一個(gè)實(shí)驗(yàn)室,同樣按檢定規(guī)程進(jìn)行測量,得到其質(zhì)量為m2,這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室各自使用自己的二等標(biāo)準(zhǔn)砝碼與天平,m1m2是常見的。但是,這兩個(gè)測量結(jié)果的不確定度是十分接近的,都不超過檢定規(guī)程的三等砝碼的要求。因此,只要測量程序、條件相同,不同的測量結(jié)果可以有相同的不確定度。反之,如果測量程序、條件并不相同,雖然測量結(jié)果相同,也未必有相同的不確定度。從這個(gè)意義上來看,測量不確定度獨(dú)立于測量結(jié)果。
  應(yīng)該認(rèn)為:測量不確定度主要決定于測量程序與條件,而測量結(jié)果應(yīng)是這一測量程序與條件下的測量結(jié)果而非其他。其聯(lián)系僅此而已。
  不確定度指測量結(jié)果的可疑程度,即對測量結(jié)果正確性的可疑程度。其值大則表示不可靠,其值較小,則表示較為可靠,其準(zhǔn)確度較高。
  測量不確定度無例外地只用正值表述。例如:擴(kuò)展不確定度U95=0.45 mA。如與測量結(jié)果用數(shù)學(xué)符號(hào)聯(lián)系起來,則另加正負(fù)號(hào)(±)。例如:電流I=(70.000±0.054)A。

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  3.4  不確定度分為哪些類?
  不確定度的定義與概念已如3.3所述,當(dāng)不確定度除以真值(或測量結(jié)果)時(shí),稱之為相對不確定度。這是個(gè)無量綱量,通常用百分?jǐn)?shù)或10的負(fù)數(shù)冪表示(例如10-6,10-9)等,而其符號(hào)則加下標(biāo)rel,例如:U95rel。
  不帶形容詞的不確定度指一般概念,當(dāng)需要明確某一測量結(jié)果的某種不確定度時(shí),要適當(dāng)采用一個(gè)形容詞,常用的形容詞有:標(biāo)準(zhǔn)、擴(kuò)展(展伸或范圍)。在這兩個(gè)形容詞前,還可再加“相對”。例如:相對擴(kuò)展不確定度Urel。
  當(dāng)不確定度是用標(biāo)準(zhǔn)偏差表述時(shí),稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。
  當(dāng)不確定度是采用統(tǒng)計(jì)方法(例如用2.12或3.1給出的計(jì)算式)得到時(shí),稱A類評定,而得出的不確定度稱為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。當(dāng)用不同于統(tǒng)計(jì)方法的其他方法得到時(shí),稱為B類評定,所得出的不確定度稱為B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。由各個(gè)不確定度的方差和協(xié)方差之和算出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度,稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,它是測量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)。

  擴(kuò)展不確定度則是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘一個(gè)包含因子(見3.5)之后擴(kuò)大了兩倍或兩倍以上的不確定度,它給出的區(qū)間能包含被測量可能值的大部分(例如:95%,99%等)。但也可以不必給出其百分?jǐn)?shù)。
  不確定度的分類可用下圖表明:
    

  


  上圖中所給出的各類不確定度均可對應(yīng)地給出它們的相對不確定度,即再除以測量結(jié)果。
  決不可以用隨機(jī)不確定度和系統(tǒng)不確定度這樣的概念和術(shù)語。因不確定度只是一個(gè)分散性區(qū)間,這個(gè)區(qū)間沒有什么隨機(jī)與系統(tǒng)性的問題,更不存在系統(tǒng)的分散性或系統(tǒng)的分散區(qū)間。如需要表明某不確定度是怎樣的原因所導(dǎo)致的,可以用隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度或系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度,以避免概念上的混淆。必須注意,隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度既可以是A類,也可以是B類,而系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度也不一定都是B類。

  3.5  包含因子k的概念如何?用在不確定度評定中的什么場合?
  包含因子又稱覆蓋因子,它等于擴(kuò)展不確定度與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc之比。由于擴(kuò)展不確定度有UUp兩類(下標(biāo)p為置信概率,Up給出置信概率為p的置信區(qū)間半寬)。包含因子亦有kkp兩類,kkp在名稱上沒有區(qū)別,使用時(shí),如需區(qū)別,必須給出符號(hào)。k一般為2,有時(shí)為3。而kp則是在給定概率p時(shí)所要求的因子,對于被測量Y之估計(jì)值接近正態(tài)分布的情況下,kp就是t分布給出的t值。在擴(kuò)展不確定度Up的計(jì)算中,有了p與自由度ν即可查表得到kp,從而得到Up。如只要求給出擴(kuò)展不確定度U,則無需kp而只用k即可。

  3.6  自由度的含義如何?不確定度評定中起何作用?什么情況下可以不必進(jìn)行自由度的估算?
  自由度一詞在不同學(xué)科有不同定義,例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中,指物體活動(dòng)空間是幾維。質(zhì)點(diǎn)只能沿固定軌道進(jìn)退為1維,在一個(gè)面上自由運(yùn)動(dòng)則是2維,在空間自由運(yùn)動(dòng)則是3維,分別稱為自由度等于1,2,3。剛體加上旋轉(zhuǎn)的自由,最大等于6。自由度從字面上看是指松動(dòng)程度。計(jì)量學(xué)中,如一個(gè)被測量只測了一次,有一個(gè)結(jié)果,不存在選擇余地,自由度為零,但有了兩個(gè)測量結(jié)果,就多了一個(gè)選擇。不確定度的評定中,自由度用于表明所得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差的可靠程度,它被定義為方差計(jì)算中和的項(xiàng)數(shù)減對和的限制數(shù)。按貝塞爾公式(見3.1)計(jì)算方差s2(qi)時(shí),∑符號(hào)后的項(xiàng)數(shù)等于n,因?yàn)橹貜?fù)了n次,被測量Qn個(gè)結(jié)果,與其平均值之差就有n個(gè),成為n項(xiàng)之和。但有一個(gè)限制,就是由于這n個(gè)殘差之和必為零,即∑(qi-)=0,這算一個(gè)限制條件。自由度ν=n-1。
  一般,我們可以認(rèn)為自由度等于測量次數(shù)n減被測量的個(gè)數(shù)m,即ν=n-m。
  自由度越大,這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差越可靠,自由度ν與這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差s的相對不確定度的平方成反比。
  自由度只用于包含因子kp的獲得,如果在擴(kuò)展不確定度的評定中只要求U而不是Up,則不必進(jìn)行自由度的評定及有效自由度的計(jì)算。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度稱為有效自由度νeff。

  3.7  置信概率的含義如何?與置信區(qū)間有何關(guān)系?
  按測量不確定度的定義,合理賦予被測量之值的分散區(qū)間是包括全部被測量的測量結(jié)果的,即測量結(jié)果100%存在于這一區(qū)間。這一分散區(qū)間的半寬一般用a表示。但是如只要求某個(gè)區(qū)間只包含其95%的賦予被測量之值,這個(gè)區(qū)間就稱為概率p=95%的置信區(qū)間,其半寬就是擴(kuò)展不確定度U95,如要求99%的概率,則為U99。相應(yīng)的概率稱為置信概率,有:
  U95<U99<a
  至于大多少,與賦予被測量之值的分布情況有關(guān)。

  3.8  測量誤差的定義、分類以及使用時(shí)應(yīng)注意哪些問題?
  測量誤差(簡稱誤差)的定義從20世紀(jì)70年代以來沒有改變,定義為:測量結(jié)果減被測量的真值。但是,長期以來,國內(nèi)外計(jì)量學(xué)界常錯(cuò)誤地使用誤差一詞。從定義看,誤差與測量結(jié)果有關(guān)而與測量方法無關(guān)。不同的測量結(jié)果有不同誤差,相同測量結(jié)果有相同誤差,而不論測量結(jié)果是來自何種測量方法。合理賦予被測量之值,各有其誤差而并不存在一個(gè)共同的誤差。一個(gè)測量結(jié)果的誤差,如不是正值就是負(fù)值,取決于這個(gè)結(jié)果是大于還是小于真值。因此,誤差決不會(huì)帶有正負(fù)號(hào)(±)。
  測量結(jié)果的誤差往往由若干分量組成,這些分量按其特性分成隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差兩大類,而測量結(jié)果的誤差無例外地是全部分量的代數(shù)和。即,對誤差的合成只有代數(shù)和這一種方式。
  隨機(jī)誤差的定義在1993年以來作了原則性的改變,它被定義為:測量結(jié)果減重復(fù)性條件對同一量進(jìn)行無限多次測量結(jié)果的平均值。測量結(jié)果是真值、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差這三者的代數(shù)和,而無限多次結(jié)果的平均值則只是真值與系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。它們的差則是這一測量結(jié)果的隨機(jī)誤差分量。
  注意:不再有偶然誤差這一術(shù)語,也不再有另外的定義。

  系統(tǒng)誤差也有了原則性的改變,它被定義為:重復(fù)性條件下對被測量的無限多次測量結(jié)果的算術(shù)平均值減被測量的真值。由于只能有限次數(shù)的重復(fù),而真值只能用給定真值代替,因此,所得到的系統(tǒng)誤差只是個(gè)估計(jì)值,并具有一定的不確定度。這個(gè)不確定度也就是修正值的不確定度,與其他來源的不確定度分量一樣進(jìn)入合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,僅此而已。而不是把系統(tǒng)誤差分成為已知系統(tǒng)誤差和未知系統(tǒng)誤差,也不能說未知系統(tǒng)誤差按隨機(jī)誤差處理。因?yàn)檫@里所謂的未知系統(tǒng)誤差并非誤差分量而是不確定度,而且,所謂按隨機(jī)誤差處理,概念是不清的。
  至于誤差限、最大允許誤差、可能誤差、引用誤差等術(shù)語,它們前面帶有正負(fù)號(hào)(±),是一種可能誤差的分散區(qū)間,而并非一個(gè)測量結(jié)果的誤差。
  過去所謂的誤差傳播定律,所傳播者并非誤差而是不確定度?,F(xiàn)在已改稱為不確定度傳播定律。
  應(yīng)該注意,誤差一詞只能按其定義使用。今后不應(yīng)用它來定量表明測量結(jié)果的可靠程度。

  3.9  測量誤差與測量不確定度之間存在哪些主要不同之處?
  下表給出它們之間的主要不同之處:

  3.10  什么叫變量之間的相關(guān)?如何定量表達(dá)?不確定度評定中如何給出其估計(jì)值,什么情況下發(fā)生相關(guān)?有沒有B類估算?
  一切被測量的估計(jì)值,由于諸多不穩(wěn)定因素的影響,它們不是固定的,因而稱之為變量。也就是說量的測量結(jié)果都是變量。
  當(dāng)某些被測量的估計(jì)值有相同的不確定度來源,特別是受相同的系統(tǒng)效應(yīng)的影響,例如用了同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)器,則這樣的變量間存在相關(guān)。均可能偏大或均可能偏小,稱為正相關(guān);一個(gè)偏大而另一個(gè)偏小,稱為負(fù)相關(guān)。這種相關(guān)性導(dǎo)致的方差稱為協(xié)方差,進(jìn)入合成方差的計(jì)算,從而擴(kuò)大了所得的合成方差(合成方差是合成標(biāo)準(zhǔn)差的二次方)。
  協(xié)方差的評定既有A類評定也有B類評定。往往也可通過測量的操作程序來避免相關(guān)的產(chǎn)生,即使其協(xié)方差小到可忽略不計(jì),例如通過改變所用的標(biāo)準(zhǔn)器等。
    

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