計量培訓(xùn)：測量不確定度表述講座
國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局  李慎安

　　5.1  A類評定的基本方法是什么？
　　用統(tǒng)計方法(參閱4.1)評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱為不確定度的A類評定，所得出的不確定度稱為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，簡稱A類不確定度。當(dāng)它作為一個分量時，無例外地只用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。
　　標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評定的基本方法是采用貝塞爾公式計算標(biāo)準(zhǔn)差s的方法。
　　一個被測量Q(既可以是輸入量中的一個，也可以是輸出量或被測量)在重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下重復(fù)測量了n次，得到n個觀測結(jié)果q₁，q₂，…，q_n，那么，Q的最佳估計即是這n個觀測值的算術(shù)平均值:
　　 由于n只是有限的次數(shù)，故又稱為樣本平均值，它只是無限多次(總體)平均值的一個估計。n越大，這個估計越可靠。
　　每次的測量結(jié)果q_i減稱為殘差v_i，v_i=(q_i-)，因此有n個殘差。
　　殘差的平方和除以n-1就是實驗方差s²(q_i)，即一次測量結(jié)果的實驗方差，其正平方根即為實驗標(biāo)準(zhǔn)差s(q_i)，當(dāng)用它來表述一次測量結(jié)果的不確定度u(q_i)時，有s(q)=u(q_i)，或簡寫成s=u。
　　請注意，今后不再把s作為A類不確定度的符號，把u作為B類不確定度的符號，而是不分哪一類，標(biāo)準(zhǔn)不確定度均用u表示。
　　上述的計算程序就是3.1給出的程序。
　　平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差s()或其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u()為:
　　 必須注意上式中的n指所用的次數(shù)。在實際工作中，為了得到一個較為可靠的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差s(q_i)，往往作較多次的重復(fù)測量(n較大，自由度ν也較大)；但在給出被測量Q_i測量結(jié)果q時，只用了較少的重復(fù)觀測次數(shù)(例如往往只有4次)。那么，4次的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差就是s(q_i)/4=0.5×s(q_i)
　　但是，如果用于評定s(q_i)時的n個觀測值，直接用于評定s()(n個的平均)，則成為下式:
    

　　5.2  除基本方法外還有哪些簡化的方法？用于何種場合？
　　在JJF1059中提出了另外的一種簡化方法，稱之為極差法，極差R定義為一個測量列中，最大的測量結(jié)果減最小測量結(jié)果所得之差。所謂測量列，是指重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下的若干測量結(jié)果這一整體。
　　使用極差法評定s(q_i)的前提是q_i的分布應(yīng)是正態(tài)的。對于大多數(shù)測量儀器來說，單次測量的示值，其分布往往偏離正態(tài)甚遠，例如軸尖支承式儀器的示值介于正態(tài)與均勻分布之間，數(shù)字電壓表的示值分布一般呈雙峰狀態(tài)等。但是所有q_i如果已是3或4個示值之平均值，則可以認(rèn)為其分布是正態(tài)的了。
　　在得到了極差R之后，根據(jù)這個測量列中包含的q_i的多少(即測量次數(shù)n)，除以一個相應(yīng)的系數(shù)C就可得出單個q_i的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差s(q_i)了，即s(q_i)=R/C=u(q_i)。
　　當(dāng)n=4時，C=2.06≈2；
　　當(dāng)n=9時，C=2.97≈3；
　　當(dāng)n=15時，C=3.47≈3.5。
　　必須注意，上述三種情況下的自由度ν分別只為2.7，6.8與10.5，比用貝塞爾公式所計算出來的結(jié)果自由度小，因此，可靠性也較差，一般在n較小時使用較好。

　　5.3  什么叫合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_p？一般有哪幾種求s_p的方法？
　　合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_p這一符號的下標(biāo)正體小寫p，來源于英文pooled一詞，表示并非來自一個被測量的實驗結(jié)果，但s_p所給出的則仍為這一條件下單次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差。s_p是根據(jù)多個被測量在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下重復(fù)觀測所得測量結(jié)果，按統(tǒng)計方法計算出的一次測量結(jié)果的分散性標(biāo)準(zhǔn)偏差，一般只用于常規(guī)的規(guī)范化的測量之中。例如:按檢定規(guī)程進行的校準(zhǔn)工作，車間中的在線抽檢，某種產(chǎn)品中成分的抽樣化驗等。采用s_p的前提是:檢測方法不變；整個過程處于正常情況，被測量值的大小變化對分散性不起主要作用。由于s_p的自由度一般可以比較容易地達到20以上，認(rèn)為是相當(dāng)可靠的，一般把它保留下來作為一種技術(shù)檔案而用于今后的相同條件下測量結(jié)果(往往只重復(fù)二、三次，甚至不重復(fù))不確定度的評定。
　　例如某種測量一般進行4次觀測，取算術(shù)平均值作為測量結(jié)果報出。這種規(guī)范化的測量如對10個被測量進行過了，則可以通過這10次的記錄，每一次可算出4個殘差v_i，一共可算出40個殘差v_i。所有這些殘差的平方和除以10×(4-1)=30后開方，就是s_p，其計算式表示為:
    

　　式中的m是所用的被測量個數(shù)，上例中為10，式中的n是每個被測量的次數(shù)，上例為4。按上例，這樣得出的s_p的自由度υ=m(n-1)=30，也就是測量次數(shù)減被測量的個數(shù)。
　　如果這10個被測量每次測量的次數(shù)并非都是4次，而是各不盡相同，則可以分別計算每一次的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差(按貝塞爾公式)s_i，通過這10個不同的s_i及其相應(yīng)不同的自由度ν_i(按n-1)由下式得出s_p，即
    

　　這時得到的s_p的自由度按測量次數(shù)減被測量個數(shù)即∑ν_i。
　　此外，還可以通過一個被測量的兩次測量結(jié)果之差Δ來求一次測量結(jié)果分散性標(biāo)準(zhǔn)差。例如:10個被測量，每個均測了兩次，得到10個差值Δ_i，按貝塞爾公式計算差值Δ_i的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(Δ_i)為:
    

　　式中:按本例n=10，為10個差值的算術(shù)平均值，s(Δ_i)的自由度為n-1，本例則為9。由于單次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差s(x_i)與s(Δ_i)之間有:
　　因此，用這一方法得出的s(Δ_i)還要除以就是s_p，即單次測量結(jié)果x_i的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差。采用這種方法時，應(yīng)有較多的被測量，以使其自由度足夠大，一般應(yīng)有20個以上。由于每個被測量只進行兩次測量，實用中不少情況下是方便的，特別是被測量本身不很穩(wěn)定的情況下，這一方法有其獨特的優(yōu)點。

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　　5.4  不等精度加權(quán)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差如何計算？
　　不管是重復(fù)性條件還是復(fù)現(xiàn)性條件下，只要是處于統(tǒng)計控制狀態(tài)下，均可按貝塞爾公式計算單次測量結(jié)果或平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，這種情況下，我們把這些進入貝塞爾公式的結(jié)果認(rèn)為是等精度的，但如果對同一被測量的若干個測量結(jié)果的不確定度各不相等，就是非等精度的測量結(jié)果，通過這些結(jié)果求出該被測量的最佳估計時，應(yīng)按加權(quán)平均的辦法處理，其不確定度的計算也要考慮各個結(jié)果的權(quán)，權(quán)是表示各個測量結(jié)果可靠程度的一個比值。我們過去說權(quán)與誤差的平方成反比，實際上是與不確定度的平方成反比，或說與方差成反比。由于不確定度有幾種不同表達形式(u，ku，k_pu)(參見3.4與3.5)，在權(quán)的計算中，應(yīng)使各個結(jié)果的不確定度換算成用同一種不確定度給出。
　　例如:對一個被測量有以下三個測量結(jié)果:
　　y₁=(1000.045±0.010)mm，k=2
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.020)mm，p=95
　　以上三個結(jié)果±號后都是不確定度，但包含因子k不同，第三個則是用擴展不確定度U₉₅給出的，在進行加權(quán)平均時，應(yīng)把他們換算成同一種，通常是都算成k=1的標(biāo)準(zhǔn)差，成為:
　　y₁=(1000.045±0.005)mm，k=1
　　y₂=(1000.015±0.020)mm，k=1
　　y₃=(1000.060±0.010)mm，k=1
　　設(shè)這三個結(jié)果的權(quán)分別為p₁，p₂與p₃，當(dāng)設(shè)其中不確定度最大者p₂為1時，應(yīng)有共同分子(20μm)²，得
    

　　加權(quán)平均值按
　　y=∑q_iy_i/∑q_i
　　計算，得
　　

　　y的標(biāo)準(zhǔn)偏差按
    

　　上式中的v_i，也是殘差，等于y_i-y，m則為y_i的個數(shù)，本例中m=3。
　　s(y)=6.5μm
　　有些書上把稱為單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，以簡化計算。

　　5.5  直線擬合中表征曲線擬合參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度如何評定？
　　直線擬合為最常用也最簡單的一種，它給出兩個變量x、y間的線性關(guān)系。通過測量出一組數(shù)據(jù)(x_i，y_i)，i=1，2，…，N，得到的一條直線y=mx+b應(yīng)該是所有這些點(x_i，y_i)與這條直線垂直距離之差的平方和為最小，所謂最小二乘即此意。式中m是直線斜率(也稱回歸系數(shù))，b是直線在y軸上的截距，m由下式可算出:
    　　

　　例如:求測出的點(-5，-4)，(-1，-2)，(3，4)，(5，6)，(8，7)，(10，10)，(15，12)這7個點，N=7的計算列表如下:
    

　　斜率
　　y軸截距b=4.71-0.858×5=0.426
　　由此給出的回歸方程為:
　　y=0.858x+0.426
　　以上所得出的m及b的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(m)及s(b)的計算如下。
　　先出y_i的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(y)，按貝塞爾公式
    

　　式中y_i是按測量給出的，而y則是得到的式子給出的。上式的2是由于這里有兩個被測量。然后按下式分別評定m及b的標(biāo)準(zhǔn)偏差為:
    

　　列出計算表:
    

　　 得:
    

　　自由度均為ν=N-2=5。

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　　5.6  A類評定方法有什么主要特點？
　　a.比B類方法更為客觀；
　　b.較具有統(tǒng)計學(xué)的嚴(yán)格性；
　　c.要求給定條件下的多次重復(fù)觀測；
　　d.所得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差，其可靠程度與重復(fù)觀測次數(shù)有關(guān)；
　　e.計算較為復(fù)雜。

　　5.7  在采用A類方法評定時應(yīng)注意哪些問題？
　　a.盡可能在重復(fù)測量中的各次觀測值相互獨立，例如:重新抽樣、重新配制標(biāo)準(zhǔn)溶液、重新調(diào)整測量儀器的零位；
　　b.所有假定為隨機性的效應(yīng)是否在整個實驗中確是隨機的，他們的分布均值以及方差是否不變，是否存在未知的漂移；
　　c.重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件應(yīng)充分保證；
　　d.影響量不應(yīng)超出允許范圍；
　　e.當(dāng)某種測量只進行了一次，并未在重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下多次觀測時，未必不存在A類評定方法。例如，采用合并樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s_p。

　　5.8  是否有可能在測量不確定度評定中，就只有一個A類不確定度？
　　當(dāng)只有一個A類不確定度分量起主要作用，其他的不確定度分量之值甚小而可忽略不計的情況下，在評定測量不確定度時就只有這一個A類分量。例如在樣品元素分析中，對樣品的消化所帶來的不確定度遠遠大于分析儀器的不確定度及其他分量。又如對樣品熱導(dǎo)率的測量中，重復(fù)條件下的分散性標(biāo)準(zhǔn)差遠遠大于所用測量儀器的不確定度分量等。

　　5.9  A類評定方法的舉例
　　設(shè)重復(fù)性條件下，測量某一電流的8次獨立重復(fù)觀測值I_i為:130，141，120，110，118，124，146，128 mA，其平均值為127 mA，按貝塞爾公式，單次觀測值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度:
　　s(I_i)=11.9 mA=12 mA
　　平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差s():
　　
　　自由度ν=n-1=8-1=7

　　5.10  協(xié)方差的A類評定中應(yīng)注意什么？
　　例如用同一個50kg的標(biāo)準(zhǔn)砝碼對兩個50kg的工作用砝碼進行校準(zhǔn)，則在兩個校準(zhǔn)結(jié)果中既包含有校準(zhǔn)過程中隨機效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度分量，也包含了所用同一標(biāo)準(zhǔn)砝碼證書上給出的實際值的不確定度這一系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度分量。后者的存在導(dǎo)致兩個50kg砝碼的校準(zhǔn)結(jié)果相關(guān)。這兩種分量的相對大小，決定了相關(guān)的強弱。如果上述第一種分量遠小于第二種，則它們是強相關(guān)，否則為弱相關(guān)。相關(guān)程度的定量指標(biāo)為相關(guān)系數(shù)r，借助于有限次數(shù)(n次)的重復(fù)測量，通過協(xié)方差s()進行A類評定的計算式如下:
　　
　　式中:q_k是第一個被檢砝碼的第k個結(jié)果，r_k是第二個被檢砝碼的第k個結(jié)果。是第一個砝碼n個結(jié)果的算術(shù)平均值，則是第二個砝碼的平均值。當(dāng)然，q_k-以及r_k-就是它們各自的n個殘差。必須注意的是，應(yīng)由n個50kg標(biāo)準(zhǔn)砝碼來對這兩個50kg砝碼校準(zhǔn)而分別得出n對測量結(jié)果:q₁，r₁；q₂，r₂；…；q_n，r_n。而決不是用一個50kg標(biāo)準(zhǔn)砝碼對這兩個砝校重復(fù)校準(zhǔn)n次。
　　當(dāng)?shù)贸?I>s()后，可按下式
    

　　計算被校準(zhǔn)的兩個50kg的測量結(jié)果間的相關(guān)系數(shù)r。式中:s(q_k)與s(r_k)為按貝塞爾公式所計算的一次測量的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差。很明顯，本例中s(q_k)=s(r_k)。當(dāng)s()s(q_k)時，r≈1即強相關(guān)，而當(dāng)即不相關(guān)。
　　可以看出，這種評定方法雖然客觀，但需要較多的標(biāo)準(zhǔn)器、實驗過程與計算也較復(fù)雜，只有在特殊情況下(例如制定檢定規(guī)程)時才采用。