國家質檢總局福州培訓中心  彭靖

　　一、問題的提出

　　在不等精度直接測量時，由各測量值x_i及其標準差σ_i計算加權算術平均值的標準差時，有兩個計算公式
    
　　式中:p_i——各測量值的權；σ_i——各測量值的標準差；σ——單位權標準差；——加權算術平均值的標準差。
　　但這兩個公式的計算結果有時會相差很大。那么，在這種情況下，采用哪個公式更為合理呢？本文對此從公式的推導到公式的選用進行探討，并給出了一般性的原則。    

　　二、公式的數學推導

　　在不等精度測量時，各測量值的權的定義式為:
　　
　　測量結果的最佳估計值為:
　　
　　則測量結果的不確定度評定為:
　　對式(5)求方差有
　　
　　設各測量值x_i的方差都存在，且已知分別為，即D(x_i)=
　　由(4)式有=σ²/p_i
    
    
　　從公式(1)的推導，我們可以看出，此時各測量值的方差(或標準差)必須是已知的。而在實際測量中，常常各測量值的方差(或標準差)是未知的，無法直接應用公式(1)進行不確定度評定。但是，從分析來看，如果能由各測量值的殘差(其權等于測量值的權)求出單位權標準差的估計值，并將其代入公式(1)中，就可計算出加權算術平均值標準差的估計值。為此，作如下推導:
    由殘差ν_i=x_i-  i=1，2，……n
    對ν_i單位權化
    
    由于v_i的權都相等，因而可設為1，故用v_i代替貝塞爾公式中的ν_i可得單位權標準差的估計值
    
    將此式代入公式(1)，即得到加權算術平均值標準差的估計值
    
    從上面的推導我們可以看出，公式(1)是在各測量值的標準差已知時計算出的不等精度測量結果的不確定度的準確值；而公式(2)是在各測量值的標準差未知時計算出的不等精度測量結果的不確定度的估計值。從概率論與數理統(tǒng)計知識可知，只有在n→∞時，其單位權標準差的估計值才能等于單位權的標準差，而由于測量次數的有限性和隨機抽樣取值的分散性，這兩者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)確定的不確定度的值是也不相同的。
    

三、公式選用的一般原則

    筆者用了較大的篇幅來進行公式的數學推導，主要是為了說明這兩個公式推導的前提是不一樣的，其應用當然也就不同。我們分兩種情況來進行討論。
    1.各測量值的標準差未知時
    顯然，在這種情況下，由于其測量值的權是由其他方法得到的，而各測量值的標準差未知，無法應用公式(1)來進行不確定度評定，而只能用公式(2)。
    2.各測量值的標準差已知時
    當已知測量值x_i和其標準差σ_i時，有兩種方法計算的標準差:第一種方法是用公式(1)進行計算，第二種方法是用公式(2)進行計算。前面已述這兩種方法在理論上是不相等的。兩種方法的區(qū)別是:第一種方法是根據已知的σ_i計算，沒有用到測量數據x_i。而第二種方法既用到了σ_i(確定權)，也用到了測量數據x_i(計算殘差)。公式(2)是一個統(tǒng)計學公式，與觀測次數n有關，只有n足夠大，即觀測數據足夠多時，該公式才具有實際意義。所以，根據前面的推導分析，當測量次數較少時，考慮到隨機抽樣取值的分散性，建議采用公式(1)進行不確定度評定，當測量次數較多時，采用公式(2)評定不確定度更能真實地反映出這一組數據的不確定度值，它包含了由隨機效應引起的不確定度，也包含了由系統(tǒng)效應引起的不確定度，因而更具有實驗性質?，F在的問題是，測量次數究竟為多少時才是較少或較多呢？根據概率論與數理統(tǒng)計知識，單次測量的標準差與平均值的標準差的關系為:，當σ一定時，n>10以后，已減少得非常緩慢。所以常把n=10作為一個臨界值。綜上所述，當測量次數n<10時，用公式(1)進行計算效果較好；當測量次數n≥10時，采用公式(2)來評定不確定度會更客觀一些。另外，還有一個問題值得注意:不等精度測量本來就是改變了測量條件的復現性測量，這些改變了的測量條件有可能帶來系統(tǒng)誤差。當n足夠大時且本次測量條件與以前的測量條件變化不大時，兩個公式計算的結果應近似相等。否則本次測量數據可能存在系統(tǒng)誤差。
    

四、實例

    [實例1]用國家基準器在相同的條件下連續(xù)3天檢定某一基準米尺，檢定的結果為999.9425mm(3次測量取平均值)，999.9416mm(2次測量取平均值.雪，999.9419mm(5次測量取平均值)，試求最終的檢定結果。
    [解]由于測量條件相同，3天里的10次測量是等精度的。3個檢定結果所以精度不等，是因為每天測量的次數不同，所以其權為:
    p₁:p₂:p₃=σ²/n₁:σ²/n₂:σ²/n₃=3:2:5
    所以，加權算術平均值為:
    
    因各測量值的標準差未知，故σ_x應按公式(2)估算，所以
    
    [實例2]對某物理量進行9次直接測量，數據見下表，評定測量結果的不確定度。
    

    [解](1)計算各測量值的權:
    由式(4)知
    p_i=σ²/
    令單位權標準差σ=50，則各測量值的權為:
    p₁:p₂:p₃:p₄:p₅:p₆:p₇:p₈:p₉
=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73
    (2)計算最佳估計值:
    
    (3)計算的標準差:
    第一種方法；用公式(1)計算
    
    第二種方法:用公式(2)計算
    
    從本例看，兩種方法計算的結果相差較大。依據第三節(jié)的原則，該例采用第一種方法計算的結果為好。從對觀測列的分析來看，x_max-x_min=132，取值很分散，似有系統(tǒng)誤差存在。當系統(tǒng)誤差大于隨機誤差時，測量值的變化規(guī)律會明顯地為系統(tǒng)誤差所左右，因而無法用統(tǒng)計的方法得到正確的測量結果，原有的測量值也就失去了意義。要有效地提高測量準確度，必須認真分析測量過程中系統(tǒng)效應的影響，并采取措施，減小或消除其影響。