中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院  陶香琴

　　編者按
　　該文作者長(zhǎng)期從事激光干涉測(cè)量和對(duì)標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺進(jìn)行量值傳遞的工作，文中對(duì)標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)定思路、評(píng)定方法和步驟，概率分布的處理，怎樣取值和計(jì)算，尤其對(duì)標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺任一長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果擴(kuò)展不確定度，用統(tǒng)一表達(dá)式來(lái)表示的方法，進(jìn)行了系統(tǒng)的論述，是一篇規(guī)范化的專(zhuān)業(yè)不確定度評(píng)定文章，可供有關(guān)人員工作中參考。
　　本文介紹以?xún)?yōu)質(zhì)碳素鋼為材料制造的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺測(cè)量結(jié)果不確定度的評(píng)估方法；與因瓦或不銹鋼為材料制造的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的分析方法類(lèi)同。    

　　一、測(cè)量原理和方法

　　依據(jù)JJG74-1991《標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺》檢定規(guī)程，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的實(shí)際長(zhǎng)度，是在27m動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)儀標(biāo)準(zhǔn)裝置上，用讀數(shù)顯微鏡對(duì)其零分劃線(xiàn)及被測(cè)分劃線(xiàn)進(jìn)行瞄準(zhǔn)定位，而兩分劃線(xiàn)間的長(zhǎng)度，由移動(dòng)棱鏡產(chǎn)生的偏振光干涉距離確定。也就是說(shuō)，在雙頻激光動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)儀上，通過(guò)偏振光干涉測(cè)量原理，將激光波長(zhǎng)直接復(fù)現(xiàn)到被檢標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺上，實(shí)現(xiàn)絕對(duì)法測(cè)量。    

　　二、數(shù)學(xué)模型

　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在20℃時(shí)的長(zhǎng)度L_20℃(輸出量估計(jì)值)由下式求得:
　　L_20℃=L+[92.9(T-20℃)-0.269(P-101325Pa)+0.042(F-1333.2Pa)]×10^-8L-α(T₁-20℃)L    (1)

　　(1)式即為求解輸出量估計(jì)值與輸入變量函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。
　　式中:L——在檢定環(huán)境下動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)儀測(cè)得的長(zhǎng)度，m；T——沿光路的空氣平均溫度，℃；P——空氣壓力，Pa；F——空氣中水蒸汽分壓，Pa；α——標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在常溫條件下的平均溫度線(xiàn)膨脹系數(shù)，℃^-1；T₁——標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的平均溫度，℃。    

　　三、方差和靈敏系數(shù)

　　根據(jù)方差合成定律，輸出量的估計(jì)方差為各輸入量的估計(jì)方差所合成。由于(1)式是一線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型，同時(shí)，式中各輸入量按相互獨(dú)立互不相關(guān)處理，因而在方差合成中不考慮高階項(xiàng)及相關(guān)項(xiàng)的影響。依方程:
　　
　　將函數(shù)式(1)對(duì)各輸入變量求偏導(dǎo),可得輸出量估計(jì)方差:
    

　　這里要指出的是，在(5)式中遺漏了一項(xiàng)不能用解析形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示的不確定度來(lái)源，但它們對(duì)輸出量估計(jì)方差有很大影響，即測(cè)量裝置調(diào)整不完善引入的不確定度。

　　由于固定在同一運(yùn)行小車(chē)上的讀數(shù)顯微鏡的視準(zhǔn)軸與移動(dòng)棱鏡頂角之間，存在水平面內(nèi)60mm的距離，當(dāng)它們隨小車(chē)移動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的被測(cè)軸線(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)軸線(xiàn)既不重合，又不在各自的延長(zhǎng)線(xiàn)上，也就是不符合測(cè)量的阿貝原則，這樣，當(dāng)導(dǎo)軌在水平面內(nèi)產(chǎn)生直線(xiàn)性偏擺時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生測(cè)量結(jié)果的阿貝誤差，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺測(cè)量中的導(dǎo)軌直線(xiàn)性阿貝誤差，已成為重要的不確定度來(lái)源，因而輸出量估計(jì)方差的完整表達(dá)式應(yīng)為:
    
    式中:u₇=u(L_Φ)——導(dǎo)軌直線(xiàn)性偏差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。
    由(6)式可以看出，對(duì)輸出量估計(jì)方差有所貢獻(xiàn)的不確定度來(lái)源于四大部分:

　　1.測(cè)量長(zhǎng)度L的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₁；
　　2.光路空氣折射率修正中，溫度、氣壓、濕度測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₂、u₃、u₄，其中忽略了Edlen公式本身的不確定度，及空氣成分中CO₂含量對(duì)折射率的影響；
　　3.標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的溫度線(xiàn)膨脹系數(shù)及尺溫測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₅、u₆；
　　4.測(cè)量裝置調(diào)整不完善引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₇。    

　　四、不確定度來(lái)源(見(jiàn)表1)   

　　五、輸入量標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定

　　1.測(cè)量長(zhǎng)度L的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₁
　　前面已經(jīng)提及，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在檢定環(huán)境下的長(zhǎng)度L是通過(guò)偏振光干涉測(cè)量的原理將激光波長(zhǎng)直接復(fù)現(xiàn)到被檢長(zhǎng)度上的。而激光波長(zhǎng)值的準(zhǔn)確度、激光頻率的穩(wěn)定度、標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺引張力的變化、讀數(shù)顯微鏡對(duì)分劃線(xiàn)的瞄準(zhǔn)偏差等都將影響長(zhǎng)度L的測(cè)量不確定度。

　　(1)激光平均真空波長(zhǎng)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₁)
　　由動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)儀提供的技術(shù)參數(shù):其平均真空波長(zhǎng)值為632.991354nm±1×10^-7L(k=3)
　　則由真空波長(zhǎng)值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度
　　u(λ)=Δλ∕3=1×10^-7L/3=3.3×10^-8L
　　估計(jì)該波長(zhǎng)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度具有99%的可靠性，則u(λ)的自由度為:
　　
　　可認(rèn)為該自由度為無(wú)窮大，故
　　u(L₁)=u(λ)=3.3×10^-8L
　　ν_1.1=∞

　　(2)激光頻率穩(wěn)定度引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₂)
　　根據(jù)動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)儀提供的技術(shù)參數(shù)，激光頻率的長(zhǎng)期穩(wěn)定度為2×10^-8L，按k=3處理，則
　　u(L₂)=2×10^-8L∕3=0.7×10^-8L
　　同樣認(rèn)為，該標(biāo)準(zhǔn)不確定度具有99%的可靠性，則
　　ν_1.2=∞

　　(3)標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺引張力變化引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₃)
　　根據(jù)檢定規(guī)程，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的長(zhǎng)度是指在規(guī)定引張力(49N或98N)下的長(zhǎng)度，而檢定平臺(tái)與尺面間的摩擦力及滑輪摩擦力、重錘重量的偏差等都會(huì)使引張力發(fā)生變化，從而引起尺長(zhǎng)變化。
　　該測(cè)量裝置采用雙滾動(dòng)軸承檢定平臺(tái)及滑輪，由實(shí)驗(yàn)得，標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺引張力最大變化為:
　　ΔP=±0.15N
　　由此帶來(lái)的尺長(zhǎng)最大測(cè)量誤差為:
　　ΔL=±27.6×10^-8L
　　在缺乏更多信息情況下，一般估計(jì)被測(cè)量值以等概率全部落入分散區(qū)間內(nèi)更合理，也即被測(cè)量值在分散區(qū)間內(nèi)服從均勻分布，這樣在保證同樣置信概率下求得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，比正態(tài)分布、三角分布、梯形分布都要大，從而顯得更為安全可靠。
　　故該誤差引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
　　
　　估計(jì)u(L₃)有75%的可靠性，則自由度:
　　 

　　(4)測(cè)量重復(fù)性估算的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L₄)
　　此項(xiàng)不確定度主要體現(xiàn)在讀數(shù)顯微鏡對(duì)標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺分劃線(xiàn)的瞄準(zhǔn)偏差上。根據(jù)歷次實(shí)驗(yàn)檢測(cè)記錄，單一瞄準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差S_r=1.2μm，ν=9。檢定標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺長(zhǎng)度時(shí)，需要對(duì)零分劃線(xiàn)及被測(cè)分劃線(xiàn)分別瞄準(zhǔn)，檢定時(shí)取兩次測(cè)量的均值為測(cè)量結(jié)果，則
    
    合成以上四項(xiàng)，得在檢定環(huán)境下測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺長(zhǎng)度L的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量:
    
    將L=5m代入
    u(L₃)=0.80μm
    u₁=u(L)=1.45μm
    依公式，自由度:
    
    由于ν_1.1=ν_1.2=∞，故u(L₁)、u(L₂)不參與對(duì)ν(L)的評(píng)定，則
    
    自由度取整時(shí)，一般截尾而不進(jìn)位，這樣在同樣置信概率下查表所得包含因子k值較大而比較安全，故
    u₁=[(16.3×10^-8L)²+(1.2μm)²]^1/2
    ν₁=15

　　2.空氣溫度測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₂
　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺在(20±0.3)℃恒溫室內(nèi)檢定，室內(nèi)沿測(cè)線(xiàn)方向溫度梯度優(yōu)于0.3℃，光路上用10支均布的溫度傳感器測(cè)定空氣平均溫度，氣溫測(cè)量可準(zhǔn)確到0.1℃，考慮測(cè)量過(guò)程溫度波動(dòng)等因素的影響，氣溫最大測(cè)量誤差為:
　　ΔT=±0.15℃
　　估計(jì)為均勻分布，則測(cè)溫標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
    
    故空氣溫度測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
    u₂=C₂u(T)=8.4×10^-8L
    按u(T)有90%可靠性估計(jì)，則
    

　　3.光路氣壓測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₃
　　光路氣壓用10Pa數(shù)字壓力計(jì)測(cè)定，其氣壓訂正值可忽略不計(jì)，考慮測(cè)量過(guò)程氣壓波動(dòng)等因素的影響，氣壓最大測(cè)量誤差為:
    ΔP=±30Pa
    按矩形分布估計(jì)，氣壓測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
    
    故由氣壓測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
    u₃=C₃u(P)=4.6×10^-8L
    估計(jì)u(P)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為10%，則
    

　　4.空氣濕度測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₄
　　已知空氣相對(duì)濕度的最大測(cè)量誤差為:ΔU=±10%RH
　　換算成空氣中水蒸汽分壓測(cè)量誤差為:ΔF=±234Pa
　　按矩形分布估計(jì)，濕度測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度為: 
　　 
　　故由濕度測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
　　u₄=C₄u(F)=5.7×10^-8L
　　估計(jì)u(F)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為20%，則
　　 

　　5.標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺溫度線(xiàn)膨脹系數(shù)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₅
　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的材料，可用優(yōu)質(zhì)碳素鋼、不銹鋼和因瓦材料制造,它們?cè)诔胤秶鷥?nèi)(-5℃～35℃)的平均溫度線(xiàn)膨脹系數(shù)及用“空調(diào)法”測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度見(jiàn)表2。    

　　從表中看出,三種材料的溫度線(xiàn)膨脹系數(shù)α相差極大,其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(α)也不同。
　　在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，恒溫要求為(20±0.3)℃，即(T₁-20℃)=±0.3℃
　　對(duì)用優(yōu)質(zhì)碳素鋼為材料的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺，由溫度線(xiàn)膨脹系數(shù)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
　　u₅=C₅u(α)=(T₁-20℃)L×u(α)=0.3℃L×1×10^-7 ℃^-1=3×10^-8L
　　估計(jì)u(α)的可靠性為90%，故:
　　

　　6.標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺溫度測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₆
　　標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺的溫度，同樣以在其旁邊的溫度傳感器測(cè)定，考慮到測(cè)量過(guò)程空氣溫度波動(dòng)時(shí)金屬材料溫度對(duì)空氣溫度的滯后現(xiàn)象，尺溫最大測(cè)量誤差可能達(dá):
    ΔT₁=±0.2℃
    估計(jì)其為均勻分布，則尺溫測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)不確定度:
    
    對(duì)優(yōu)質(zhì)碳素鋼標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺，由尺溫測(cè)量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為:
    u₆=C₆u(T₁)=αLu(T₁)=11.5×10^-6 ℃^-1L×0.12℃=138×10^-8L
    估計(jì)u(T₁)有85%可靠性，故
    

　　7.測(cè)量裝置調(diào)整不完善引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u₇
　　根據(jù)實(shí)驗(yàn)檢測(cè)，導(dǎo)軌在水平面內(nèi)直線(xiàn)性偏擺產(chǎn)生的最大測(cè)量誤差為:
　　ΔL_Φ=±1.8μm
　　估計(jì)其為矩形分布，則
　　
　　估計(jì)u(L_Φ)有75%可靠性，則
　　
　　而導(dǎo)軌在垂直面內(nèi)的傾斜，使被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量產(chǎn)生同向同量的長(zhǎng)度變化，在比較結(jié)果中相互抵消而可不考慮。    

　　六、輸入量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成

　　由(6)式可得:
    
    將L=5m代入，則
    uc(L_20℃)=7.13μm
    而u₁=1.45μm，u₂=0.42μm，u₃=0.23μm，u₄=0.28μm，u₅=0.15μm，u₆=6.90μm，u₇=1.04μm
    ν₁=15，ν₂=50，ν₃=50，ν₄=12，ν₅=50，ν₆=22，ν₇=8
    則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度為:
    
    

　　七、擴(kuò)展不確定度

　　根據(jù)概率論的中心極限定理，大量獨(dú)立分布的隨機(jī)變量，其和的概率分布近似于正態(tài)分布；由于本文分析的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，是由有限個(gè)隨機(jī)變量所合成，它的概率分布可按近似于正態(tài)分布的t分布處理。另一方面，作為量值傳遞中的標(biāo)準(zhǔn)尺，我們要求其測(cè)量結(jié)果擴(kuò)展不確定度達(dá)到約99%的置信水準(zhǔn)。

　　故由置信概率P=99%和有效自由度ν_eff=24，查t分布表，可得臨界值t_p(ν)，則包含因子:
    k₉₉=t_p(ν_eff)=t₉₉(24)=2.80
    擴(kuò)展不確定度為:
    U₉₉=k₉₉u_c(L_20℃)=2.80×[(139×10^-8L)²+(1.59μm)²]^1/2    (8)
    將L分別以0.1m、1m、5m、10m、25m代入(8)式，則U₉₉分別為:
    4.5μm、5.9μm、20.0μm、39.2μm、97.4μm
    由上面數(shù)據(jù)我們歸納成:對(duì)任一長(zhǎng)度測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度可表示為:
    U₉₉=(4+4L)μm   L以米為單位    (9)    

　　八、不確定度報(bào)告

　　在(20±0.3)℃環(huán)境條件下，以激光波長(zhǎng)為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)以?xún)?yōu)質(zhì)碳素鋼為材料的標(biāo)準(zhǔn)鋼卷尺任一長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果擴(kuò)展不確定度為:
　　U₉₉=(4+4L)μm   L以米為單位
　　該擴(kuò)展不確定度由不隨長(zhǎng)度變化的固定部分及隨長(zhǎng)度而變的比例部分組成。
　　它的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:
　　u_c(L_20℃)=[(1.39×10^-6L)²+(1.59μm)²]^1/2
　　u_c(L_20℃)的有效自由度為:ν_eff=24
　　包含因子:k₉₉=2.80
　　該擴(kuò)展不確定度具有約99%的置信水準(zhǔn)。